Music Theory: Building from the Scratch

如何用比较数学和推理的方法去理解和掌握音乐。

说一个有争议的话题，类似中医和西医。不分高下地做一个对比，西医更像是演绎法，中医更像是归纳法。

就像是how first principles thinking fails里面提到的inductive v.s. deductive。

不是说归纳法不好，而是演绎法可能更适合我这样的天赋不佳的人去理解。你跟我说，“感觉一下”，我太难理解了。

Building from the Scratch是模仿Linux From Scratch (LFS)。

第一章 从频率说起

声音

众所周知，声音是波。波有两个属性：频率 x 振幅。频率决定我们听起来声音的“高低”，振幅决定声音的“大小”。

声音是波，而不是粒子 :)。

所以声音存在“共振”现象。

也就是说，在自然界中，如果一个声音的频率是440Hz，往往440Hz的整数倍声音也会同时出现。比如880Hz（第2谐波），1320hz（第3谐波）等等。

为什么同样不跑调的人，有的人唱起来好听，有的人唱起来不好听。

就是因为每个人的谐波特性不同。

如果完全没有谐波，好不好听呢。

在电子电路出现之前，是很难产生单一频率的波的。但是现在我们可以用电路来实现非常单一的波，这种工具被称为合成器。构成了电子乐的基础。

音乐中的牛顿定律

上面我们说完了单一频率的波，接下来我们说如果多个频率连续出现，什么时候我们会觉得好听，什么时候会觉得难听呢。（这里的好听难听就无法形式化了，凭“感觉”）。

结论：

频率构成简单整数比的声音，放在一起听会比较好听。

比如：

1. 上面提到，我们在发出440Hz的时候，880Hz的声音也同时存在，构成1:2的频率比，属于简单整数比。所以一个持续的单一音高，不会那么“难听”。
2. 和弦是好听的，和弦是什么呢。和弦就是多个构成简单整数比的声音同时出现。比如我们最常见的C大三和弦，就是由频率比例是4:5:6的声音构成的。 在这里并不需要理解什么是C大三和弦。后面会再介绍。

到这里，我们提到“好听”很多次，我们的好听是基于我们身体机能的反应（可以再深究一下，但是不是今天）。

这里也应该形式化的表达一下人对声音的测量特性了。

1. （大部分）人无法掌握的机能：听声音，就说出他的频率。
2. （所有人）人可以听出来两个声音之间的频率比例。 我们把两个音的比例，给一个名字叫作 音程 ，声音之间的路程。最简单的音程就是1:2。
3. 所以人的耳朵工作在Log尺度下。

下面，我们如果想构成一段声音的序列，我们该怎么选择频率呢。

比如我们先无脑选择440Hz（这个440Hz完全是人为定义，历史惯性，完全可以改成别的），那么我们可以先想到880Hz，这个没问题，听起来是“和谐”的（后面我们会更多用和谐来指代好听）。

然后我可以选择440Hz的1/2，1/3，1/4…1/13，每个音给一个键，用合成器来开始演奏了。

这样可以吗，其实是可以的，但是历史的车轮走到今天，我们现存的音乐体系里面用的是1234567，七个音。也就是说，在1:2的整个音程[440,880]里面，切分出来7个音。

为什么是7个音

我们进入第一个真正有意思的环节了。

为什么是7个音呢。历史上是怎么发生的?

首先，我们看看哪些整数比是好用的，1:2两倍频率，没有问题。2:3也是很整的。

2:3是如此之好听，那么让我们重复它

f = 440
for i in range(13):
    print(i,f)
    f = f * 3/2
    if f > 880: f=f/2.0

0 440
1 660.0
2 495.0
3 742.5
4 556.875
5 835.3125
6 626.484375
7 469.86328125

一直循环到第7个，我们似乎又回到了原点，469和440很接近了，那么我们停下来吧。

• 一个小小的修复

  在上面的过程之后，我们得到了8个音符（下图中灰色+红色，重色是上面迭代中的(7,469)。 但是，我们遗憾地发现3:4这个良好的整数比竟然没有用上（下图中蓝色）。

  所以，决定，把红色换成蓝色。最终得到7个音符。

  

  这种方法又被称作五度相生律，据说是毕达哥拉斯学派发明的。

形式化的开始，巴赫十二平均律

在上面的五度相生律之后，要过了很长很长一段时间，人们才真正学会log/exp算符。（巴赫会不会啊，不知道）。

所以被大佬巴赫，重新发明了十二平均律。

上面的结果，如果我们用现在我们掌握的exp来操作，并且去增加划分：

t=12
octaves = [440*(2**i) for i in range(2)]
fifth = [octaves[i] * 3/2 for i in range(1)]
fourths = [octaves[i] * 4/3 for i in range(1)]
new_notes = [octaves[0] * (2**(float(i)/float(t))) for i in range(1, t+1)]
plot(f"{t} divisions (notes)", [(octaves, 'k', "octaves"), (fifth, 'r', "fifths"),(fourths,'b', "fourths"),(new_notes,'g', "new notes")], 'log')

我们就直接得到了12个划分，并且：

1. 充分利用了1:2 2:3 3:4这三个良好的整数比。
2. 尊重了传统，上面的7个音符也都被覆盖了，历史上的曲子不用重写了。

这里，我们有了新的观察，原来1-2之间和3-4之间，不一同样的“距离”。

• 3-4和7-1之间距离比较小，在十二划分里面，这两个之间的距离是一个单位，被叫作一个 半音 。
• 其他音之间的距离比较大，是两个单位，被叫作一个 全音 。

到了这里，终于有一个比较“良好”的数学表示了。

我想起来小时后音乐课的时候，有一种题算是简谱的完形填空，给你一个旋律，盖住其中一个音符来猜答案，当时我很想用类似等差数列之类的东西去找答案。

现在看来，当时猜的成绩如此之差也可以理解了。音阶竟然不是连续的。

用流行的话说，12平均律给出了一个最基础的latent representation。

数学上的不严谨性

上面两种方法，五度相生律和十二平均律找到的音符，从数学上不是完全相等的。

十二平均律找到的都是无理数，原本的五度相生律找到的都是有理数。

这是一个细节。

十二平均律确实更加整齐，也有很多优点，但是五度相生律更接近最基础的整数比定理。

所以严格来说，十二平均律是方便，但是不够好听或者说和谐的那一个。

除了这两个之外，还有一些其他的律。甚至这也算一个专门的领域吧。

第二章 旋律和和弦的关系

和弦出现了

这样，和弦就出现了，几个音放在一起听，比较和谐，他们就算是一个和弦。

二（个音的）和弦

比如1-5，如果大家还记得话，他们是2:3的关系，听起来很好，同理2-6也听起来很好。而且1-5和2-6听起来会有点像。

三（个音的）和弦

再多一个音的话，1-3-5的比例是4:5:6，这个就有点高级了，它是由1-3的4:5和1-5的2:3组成的。

另外一种理解是，它是由1-3这个音程和2-5这个音程组成的。根据十二平均律，1-3是4个半音的音程，3-5是3个半音的音程。 先走4步，再走3步。

继续往下平移呢，2-4-6，他是由2-4和4-6组成的，其中2-4是3个半音，4-6是4个半音。 先走3步，再走两步。

和弦就是上面最基础的representation之上一点，更常用的一种representation。

而和弦之中，三和弦占据了主导地位。

三和弦中，1-3-5（4步+3步）和2-4-6（3步+4步）被人们听出来最容易区分，他们的性格（从听感来说）最容易区分。

所以人们给了他们一个非常朴素的名字，4+3是大（三）和弦，3+4是小（三）和弦。

旋律的基础：离家出走->归来和解

在斯多葛主义(Stoicism)中提到，快乐无法脱离痛苦而存在。这个说法在旋律中隐隐地体现出来。

旋律，可以被认为，从完美的和谐出发，走出一些不和谐，最终回到和谐的过程。

是不是有点像自虐狂。

或者像走钢丝绳，微微失去平衡，再回来。这种过程，构成了旋律。

可以把音符想象成一个序列，每次产生一个新的音符的时候，我们要考虑两个因素：

• 希望下一个音符和之前的音符连续出现比较和谐，贴近和弦
• 是不是该回家了，回到最初的音。不妨假设，我们是从1出发，那么最终我们都是要回到1的。

这就是旋律，从家出发，最终回到家，这期间的探险经历，就是旋律。有的旋律明亮昂扬，有的旋律忧郁灰暗，只是在每一步的选择不同。

第三章 旋律的色彩

十二平均律的预测性

历史发展起来，发现了一个物理规律，这个规律一方面可以解释过去的现象，更重要的，应该可以预测未来。

现在我们有了：12个划分，12个音符。我们先用下标来指代他们。我们目前最常用的音符，还是用五度相生律做出来的，也就是[0, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 12/0]。

我们也慢慢意识到，声音的一切都是围绕相对的音程概念的，绝对值不是那么重要。

所以我们有两个猜想：

1. 能不能平移。 比如[2, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 14] 。答案是可以的。而且对大多数人来说，在不做A/B对比的情况下，两种方法演奏的歌听起来是一样的， 在上面的[0,2..12]和[2,4..14]里面，不变的是音和音之间的关系，都是全全半全全全半。
2. 能不能换家。 比如[9, 11, 0, 2, 4, 5, 7, 9]。答案也是可以的，但是这种替换，听起来就不一样了。这次变换之后，音和音之间的关系变成了，全半全全半全全。

一种变换不影响听感，这个好理解。一种变换影响听感，也好理解。

一切都是因为音程的组合不同。

第一种变换，更多的作用在于更改旋律的搞定，去做乐器之前的配合。

其实主要是配合最不稳定的一个乐器，就是人的嗓子。

人的嗓子的一致性很差，不同的人能唱的高低音差别很大，特别是男女之间的差异也比较大。

第二种变换更具延伸性。如果我们不想改变音符，是不是可以多做一些变换：

• 12345671
• 23456712
• 34567123
• 45671234
• 56712345
• 67123456
• 71234567

到这里，我有点不可思议了，原来怎么搞都行啊。

确实是怎么搞都行，但是有的好听，有的不好听。或者说有的更大众，更多人听起来舒服，有的更小众，只有乐于挑战的人愿意去尝试。

大调小调

在7个变换中，最常用的，也就是说在没有理论指导的情况下，大家试错出来的，最不难听的。是第一个和第六个。

第一个被叫作， 大调音阶 。第六个被叫作， 小调音阶 。

中古调式

其他的也都有名字，而且个顶个的名字非常高大上。

中古调式的中古，意思是中世纪。中古调式又叫作教堂调式，意思是中世纪的罗马教堂发明的。

教堂为了影响大家，发明了很多东西。

曾经去过一些欧洲的著名教堂，进去之后，看着那些高高的穹顶，看着精美的雕像和壁画，听着教堂音乐以及被刻意设计的房间混响。 有一种我也想加入的感觉，对人的影响力真的很强。

建筑和音乐很多的起源就是宗教的传播需求了。

中古调式有点太复杂了。

但是我们平常听的音乐应该99%都是大调或者小调。

其他的调式就好像钢丝绳上的高难度动作，不容易玩好，玩好了也难免曲高和寡。

两个应用

中国调式：宫、商、角、徵、羽

中国的宫商角徵羽算是什么调式呢。首先他音符不够啊，他只有5个。

实际上他是123561。就是去掉了4和7。

这两个被去掉，一点也不怨，他们都太不独立了，4和3只有一个半音，7和1之间也只有一个半音。

去掉之后，剩下5个音符。从这5个音符里面任意选择音去构成二和弦或者三和弦，概率上来说，更容易和谐了。

摇滚五声音阶

这个也是经常被提到的一个名字。

玩摇滚的为了简化技巧，强化情绪，也去掉了两个音符。

他们选择的是61235。基于同样的原因，我们去掉了4和7。

总结来说，中国调式是5音符的大调，摇滚五声音阶是5音符的小调。

如果手边有什么乐器可以弹一弹的话，会发现这几个音符，随便弹，其实都不算难听。这不就是即兴了嘛。

结尾

写这些内容，诚惶诚恐，因为我自己是一个半吊子。

但是还是被write_it_down和let’s_have_a_talk鼓励，写一些，帮助自己厘清思路，也看看能不能结交新的朋友讨论讨论。

好读书，不求甚解；每有会意，便欣然忘食。